¿Cómo puede el número de Euler subyacer tantas tendencias en las funciones de la población?

Answer 1

No lo hace.

El concepto matemático que subyace al modelado de las funciones de población es la función exponencial [matemática] f (x) = \ exp (x) [/ matemática] y sus propiedades como la solución de la ecuación diferencial [matemática] f ^ \ prime = f [ / matemática] satisfactoria [matemática] f (0) = 1 [/ matemática].

Los métodos y técnicas para resolver ecuaciones diferenciales podrían desarrollarse de esta manera sin ninguna referencia al número [math] e [/ math], pero sucede que una de las propiedades de la función exponencial (como consecuencia de la ecuación diferencial anterior) ) es que convierte sumas en productos: [math] \ exp (x + y) = \ exp (x) + \ exp (y) [/ math]. Esto se parece mucho a una propiedad familiar de los poderes: [matemáticas] a ^ {x + y} = a ^ x + a ^ y [/ matemáticas] …

… lo que naturalmente lleva a uno a representar la función exponencial como una potencia de alguna base, y esa base resulta ser el número [math] e [/ math].

Pero en realidad no hay nada especial sobre el número [math] e [/ math] con respecto al modelado de funciones de población (y otros campos donde se usan con frecuencia ecuaciones diferenciales). Si toma una función exponencial general [matemática] e ^ {kx} [/ matemática] y encuentra que [matemática] a = exp (k) [/ matemática], puede reescribir la función como [matemática] a ^ x [ / math], nuevamente eliminando la referencia al número [math] e [/ math].

Answer 2

Un aspecto clave es que cualquier función exponencial se puede escribir con base [math] e [/ math]. Por ejemplo, [math] ab ^ {cx + d} = ae ^ {\ ln (b) cx + \ ln (b) d} [/ math]. Básicamente, todo lo que necesitamos hacer es escalar y cambiar [matemáticas] x [/ matemáticas] en consecuencia. Por ejemplo, cuando describe algo en términos de tiempo [matemática] t [/ matemática], la escala y el desplazamiento son bastante naturales, ya que puede cambiar las unidades que usa para medirlo (días, minutos, milisegundos, …) y cambiar qué hora de llamar [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas]. Nada de esto cambia el comportamiento esencial. Entonces, convenientemente, tendemos a escribir cosas en base [matemáticas] e [/ matemáticas] si podemos.

Tendemos a escribir cosas en base [matemáticas] e [/ matemáticas] ya que es más fácil trabajar con ellas (particularmente cuando se trata de ecuaciones diferenciales o diferenciación o integración). Podríamos trabajar en cualquier otra base si quisiéramos.

Answer 3

La razón por la cual [matemática] e ^ x [/ matemática] es tan frecuente es porque es la solución a la ecuación diferencial [matemática] y ‘= y [/ matemática], es decir, cuánto de algo tiene afecta la rapidez está creciendo (o disminuyendo, solo agregue algunas constantes al frente).

Esta simple descripción es aplicable a la economía (si tiene más dinero, ganará más dinero más rápido), la desintegración radiactiva (si tiene más masa, obviamente perderá más núcleos por segundo), tasas de interés (si tiene más dinero) , obtendrá más interés por día) y una multitud de escenarios diferentes.

Esa es la única razón por la que prevalece: resuelve la ecuación simple anterior.