¿Puedo comercializar mi aplicación como ‘Inspirado por el Cubo de Rubik’ o usar ese nombre en un eslogan sin penalización legal?

Probablemente al primero y no al segundo. Primero debe usar todas las marcas de registro adecuadas al referirse al otro producto. Probablemente haya símbolos de registro y marca registrada que deberá aplicar. En segundo lugar, deberá asegurarse de que su aplicación sea lo suficientemente distinta; de lo contrario, la gente de Rubik podría afirmar que su uso de su marca registrada fomenta la confusión.

En general, no puede usar las marcas registradas de otros en su propio eslogan (aunque la publicidad es otro asunto).

Sin embargo, la primera pregunta es “¿por qué quieres poner esa frase?” Si parece que está utilizando la marca conocida de otra persona para promocionar su propio producto que podría tener en su contra. Hay algunos casos en los que esto puede funcionar (cosas famosas como las pruebas de sabor de Coca-Cola vs Pepsi) pero en esos casos un producto estaba usando el otro para hacer una afirmación (protegida por la Primera Enmienda) sobre la superioridad. Son aguas turbias que la mayoría de la gente preferiría evitar.