La probabilidad de algo es el número de formas de hacerlo dividido por el total de formas en que puede hacerlo.
Para la parte a:
Las formas en que no puedes dibujar un par completo son las formas en que puedes dibujar un zapato de 8 pares diferentes.
Por lo tanto:
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[matemáticas] {} _ {10} C_8 \ cdot ({} _2C_1) ^ 8 [/ matemáticas]
El número total de formas de dibujar 8 zapatos de 10 pares es:
[matemáticas] _ {20} C_8 [/ matemáticas]
Por lo tanto, la probabilidad es
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {45 \ cdot 2 ^ 8} {125970} = \ frac {11520} {125970} = \ frac {384} {4199} \ aprox 0.0915 [/ matemáticas]
Para la parte b:
Las formas en que puede dibujar exactamente 1 par son las formas en que puede elegir 1 par de 2 zapatos y 6 pares (de los 9 restantes) con solo 1 zapato.
Por lo tanto:
[matemáticas] _ {10} C_1 \ cdot {} _2C_2 \ cdot {} _9C_6 \ cdot ({} _2C_1) ^ 6 [/ matemáticas]
El número total de formas de dibujar 8 zapatos de 10 pares sigue siendo el mismo.
Por lo tanto, la probabilidad es
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {10 \ cdot 1 \ cdot 84 \ cdot (2) ^ 6} {125970} = \ frac {53760} {125970} = \ frac {1792} {4199} \ aprox 0.4268 [/ math ]
Así también se calcula la probabilidad de la tarjeta. La diferencia es que hay 13 grupos de los que se pueden sacar los pares, y cada grupo tiene 4. Además, en las tarjetas estás robando 5, mientras que en este problema estás robando 8.
Editar: demostraré que mi método es válido porque la otra respuesta no coincide con la mía.
Si generaliza esta solución:
[matemáticas] X: \ text {El número de pares de zapatos que dibujas} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle P (X = x) = \ frac {_ {10} C_ {x} \ cdot {} _ {(10-x)} C _ {(8-2x)} \ cdot 2 ^ {(8 -2x)}} {_ {20} C_8} [/ matemáticas]
Otra forma de escribir eso sería:
[matemáticas] \ displaystyle P (X = x) = \ frac {30965760} {4199 \ cdot x! \ cdot (x + 2)! \ cdot (8-2x)! \ cdot 4 ^ x} [/ matemáticas]
[matemáticas] P (X = 0) = \ frac {384} {4199} [/ matemáticas] del trabajo que se muestra arriba
[matemáticas] P (X = 1) = \ frac {1792} {4199} [/ matemáticas] del trabajo que se muestra arriba
[matemáticas] \ displaystyle P (X = 2) = \ frac {_ {10} C_ {2} \ cdot {} _ {(10-2)} C _ {(8-2 \ cdot 2)} \ cdot 2 ^ {(8-2 \ cdot 2)}} {_ {20} C_8} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (X = 2) = \ frac {45 \ cdot 70 \ cdot 2 ^ 4} {125970} = \ frac {50400} {125970} = \ frac {1680} {4199} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (X = 3) = \ frac {_ {10} C_ {3} \ cdot {} _ {(10-3)} C _ {(8-2 \ cdot 3)} \ cdot 2 ^ {(8-2 \ cdot 3)}} {_ {20} C_8} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (X = 3) = \ frac {120 \ cdot 21 \ cdot 2 ^ 2} {125970} = \ frac {10080} {125970} = \ frac {336} {4199} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (X = 4) = \ frac {_ {10} C_ {4} \ cdot {} _ {(10-4)} C _ {(8-2 \ cdot 4)} \ cdot 2 ^ {(8-2 \ cdot 4)}} {_ {20} C_8} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle P (X = 4) = \ frac {210 \ cdot 1 \ cdot 2 ^ 0} {125970} = \ frac {210} {125970} = \ frac {7} {4199} [/ math]
Es imposible obtener más de 4 pares cuando dibujas 8, por lo que X no puede ser mayor que 4.
¿Es esto igual a la probabilidad total?
[matemáticas] P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {384} {4199} + \ frac {1792} {4199} + \ frac {1680} {4199} + \ frac {336} {4199} + \ frac {7} {4199} [/ matemáticas ]
[matemáticas] \ frac {384 + 1792 + 1680 + 336 + 7} {4199} = \ frac {4199} {4199} = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, he demostrado la validez del método al demostrar que la probabilidad total es igual a 1.