Sea [math] x [/ math] el número de minutos transcurridos desde las 10 en punto.
Cada minuto, la manecilla de minutos pasa un índice en la esfera del reloj. Por lo tanto, la posición de la manecilla de minutos en el dial se puede determinar mediante
[matemáticas] m (x) = x; 0 \ leq x <60 [/ matemáticas].
(Esta función no está definida para las 11 en punto, a pesar de que es parte del posible espectro de respuesta dado por la pregunta. Sin embargo, podemos descartar inmediata y obviamente las 11 en punto como la solución).
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La manecilla de las horas pasa de 10 a 11, es decir, de los índices de minutos 50 a 55 en 60 minutos. Por lo tanto, cada minuto, la manecilla de las horas pasa [matemáticas] \ frac {55-50} {60} = \ frac {1} {12} [/ matemáticas] índice de minutos. Entonces, la posición de la manecilla de las horas, comenzando en el índice de minutos 50, puede determinarse por
[matemáticas] h (x) = 50 + \ frac {x} {12} [/ matemáticas].
Las dos manos apuntan en direcciones opuestas si y solo si sus posiciones están separadas por índices de 30 minutos. Es decir, [matemática] m (x) [/ matemática] y [matemática] h (x) [/ matemática] difieren en 30 en valor.
Como [math] h (x) [/ math] solo se define para valores de 50 a, pero no incluye, 55, y ninguna de las funciones se define para valores de 60 o más, sabemos que [math] m (x ) [/ math] debe ser el valor más pequeño. (En la ilustración: Obviamente, la manecilla de las horas está en la esquina superior izquierda y la manecilla de los minutos debe estar en la esquina inferior derecha).
[matemáticas] h (x) = m (x) + 30 [/ matemáticas]
[matemáticas] 50 + \ frac {x} {12} = x + 30 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow 20 + \ frac {x} {12} = x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow \ frac {x} {12} – x = -20 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow – \ frac {11x} {12} = -20 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow 11x = 240 [/ matemáticas]
[matemática] \ Leftrightarrow x = \ frac {240} {11} = 21.82 \ aprox 22 [/ matemática] [minutos desde las 10 en punto]
A las 10:22 pm, las manecillas de un reloj apuntarán en direcciones opuestas.